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整数角度的三角函数值研究

发布时间:2019-06-29 06:44 来源:未知 编辑:admin

  整数角度的三角函数值研究(李明 中国医科大学数学教研室 110036) 研究整数角度的三角函数值(由于正、余割不常用,本文仅讨论正、余弦和正、余切), 根据诱导公式,我们只需研究区间[0,45]中所有整数角度的三角函数值。为讨论方便, 下文根据区间[0,45]中整数角度的三角函数值取值形式的不同将这些值分成四类:简 单三角函数值,复合根式三角函数值,多根式三角函数值,隐三角函数值。 简单三角函数值我们将取值为有理数、二次根式或它们的和的三角函数值定义为简单三角函数值,区 间[0,45]中有0,30,45,15的各三角函数值,以及18的正弦值和36的 余弦值。对于0,30,45,15这四个特殊角的各三角函数值,中学教材里面均已给 出,本文不再赘述,它们的值将在表格1 中直接列出。下面介绍求sin18和cos36的值 一种常用方法: 首先,将等式sin36=cos54的两边分别用二倍角正弦公式和三倍角余弦公式展开, 便得到等式 2sin18cos18=4cos18-3cos18,再化简可得关于 sin18的方程 4sin18+2sin18-1=0,解得sin18= 显然不合理),再由二倍角余弦公式易得cos36=1-2sin18= 。我们看到,sin18不与cos18互为有理化因式,却与 cos36互为有理化因式,因为 sin18cos36= 。这与sin15= 复合根式三角函数值我们将取值为某个复合根式的三角函数值定义为复合根式三角函数值。区间[0,45] 中仅有18和36的各三角函数值(sin18和cos36除外)。它们可由sin18= 一一求得,不予赘述,这些值详见本文表格1。三、多根式三角函数值 理论上,我们已经可以通过3=18-15这个关系求出3角的各个三角函数值,然 后利用和角及倍角公式即可求出区间[0,45]中所有上文未求得的 3角整数倍的角度 的各三角函数值。它们是3、6、9、12、21、24、27、33、39、42这 十个角度的各三角函数值。但实际上,我们完全可以根据3=18-15、6=36-30、9=45-36、12=30-18、21=36-15、24=54-30、27=45-18、 33=18+15、39=54-15、42=60-18这十组和、差关系方便地求出这些角度 的各三角函数值,由于这些值的表达式中不只含有一个复合根式,还含有别的复合根式或二 次根式,故本文将它们统一定义为多根式三角函数值。这十组值中以9和27的两组三角 函数值相对简单,表格1 将予以列出,而其余八组函数值相对复杂难记,本文不予罗列。 四、隐三角函数值 至此,我们已经明确了区间[0,45]中 3角整数倍的角度的各三角函数值,它们 均可用含有有理数、二次根式或复合根式的实数表达式来准确写出。而其余整数角度的各三 角函数值(有 1、2、4、5…43、44这 30 个角度),笔者可以证明它们全部都 是无理数,但他们很可能没有根式表达式.我们在使用它们时常用小数或分数来近似表示(如 sin10.0175、cos20.9994、tan40.0699、cot511.43、sin37 等等),或者干脆用三角函数值符号来准确表示(如sin1、cos2、tan4、cot5、sin37), 我们将这类三角函数值定义为隐三角函数值。 下面分两种类型具体给出隐三角函数值均是无理数的证明: 第一种类型:运用三倍角公式得出的函数值是有理数,它们是 sin10、 cos20和 cos40。先来证明 sin10无理数,由三倍角正弦公式得 3sin10-4sin10= sin30 的一个实数根。由多项式的有理根判定法则(详见[1]),如果三次方程 中取值,而将这些值代入方程均不成立,故三次方程没有有理根,所以sin10只能是无理 数。运用三倍角余弦公式同理可证cos20和cos40也是无理数。 第二种类型:运用三倍角公式得出的函数值是无理数,即除了第一种类型 sin10、 cos20和 cos40之外,其它的隐三角函数值均属于此类。只需证明其中一个隐三角函数 值是无理数,其余同理可证。我们不妨以证明tan1是无理数的过程为例来说明证明技巧。 假设 tan1是有理数,则 tan1= 是互质的正整数),于是tan3 3tan1tan 也是有理数,这与tan3是无理数相矛盾,故 tan1是无 五、部分整数角度的三角函数值列表至此,我们已分类研究了区间[0,45]中所有整数角度的三角函数值,下面将区间 [0,45]中所有简单三角函数值和复合根式三角函数值以及部分相对简单的多根式三角 函数值和隐三角函数值由简到繁列表如下: sincos tan cot 没意义30 2510 3610 2510 288/17 (0.24%) 15/17 (0.07%) 8/15 (0.31%) 15/8 (0.31%) 37 3/5 (0.31%) 4/5 (0.18%) 3/4 (0.48%) 4/3 (0.48%) 注:此表格中 28和 37的各三角函数值为近似值,括号中的百分数为相对误差限,即 真实值 真实值 近似值 的过剩近似值。 [1]靳平主编,《数学的100个基本问题》,山西科学技术出版社,2004 月,第一版,第131

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